首先,包含实数域的数域必定可以由实数域R通过域扩张得到,显然,要想得到R和C之间的域,减少添加的扩张元是必要的,因为C是R的单扩张,仅仅添加了虚数单位i.设x是添加的元素,并且设x^n=y∈R(如果没有这个条件,那么R(x)必定不包含于C),于是n必须≤2才能保证R(x)包含于C,但是n必须≥2,因此n=2..这时,通过映射x→i可以得到一个保持R不变的域同构,也就是说,R(x)≌C=R(i),所以R(x)不可能真包含于C.
或者换个角度讲,单扩张是R上的最小扩张(同构意义下),而C已经是R上的单扩张,[C:R]=2,
对任何域扩张k,k必须满足[k:R]≥2,所以k至少与C同构.