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如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是等边三角形,D为AB中点.(I)求证:BC1∥平面A1CD;(II)若四边形BCC1B1是矩形,且CD⊥DA1,求证:三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱.
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更新时间:2024-03-29 03:43:20
问题描述:

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面△ABC是等边三角形,D为AB中点.

(I)求证:BC1∥平面A1CD;

(II)若四边形BCC1B1是矩形,且CD⊥DA1,求证:三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱.

毕伟文回答:
  (Ⅰ)连AC1,设AC1与A1C相交于点O,连DO,则O为AC1中点,   ∵D为AB的中点,   ∴DO∥BC1   ∵BC1⊄平面A1CD,DO⊂平面A1CD,   ∴BC1∥平面A1CD;   (Ⅱ)∵等边△ABC,D为AB的中点,   ∴CD⊥AB   ∵CD⊥DA1,DA1∩AB=D,   ∴CD⊥平面ABB1A1   ∵BB1⊂平面ABB1A1   ∴BB1⊥CD,   ∵矩形BCC1B1   ∴BB1⊥BC   ∵BC∩CD=C∴BB1⊥平面ABC   ∵底面△ABC是等边三角形,   ∴三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱.
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