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【设A,B,A+B,均为n阶可逆矩阵,证明A^-1+B^-1为可逆矩阵,并写出(A^-1+B^-1)^-1,】
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问题描述:

设A,B,A+B,均为n阶可逆矩阵,证明A^-1+B^-1为可逆矩阵,并写出(A^-1+B^-1)^-1,

李向新回答:
  容易验证:   (A^-1)(A+B)(B^-1)=B^-1+A^-1.**   由于可逆阵的逆阵可逆,可逆阵的乘积可逆,由上式知:A^-1+B^-1可逆.   再由性质:(AB)^-1=(B^-1)(A^-1)   由(**)式,两端取逆,得:   (A^-1+B^-1)^-1=   =[(B^-1)]^-1}[(A+B)^-1][(A^-1)^-1]   =(B)[(A+B)^-1](A)
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