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已知直线L:y=k(x+2*根号2)与圆O:x^2+y^2=4相交于A,B两点,求当三角形ABO面积取最大值时,直线L的方程.
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更新时间:2024-03-29 20:37:08
问题描述:

已知直线L:y=k(x+2*根号2)与圆O:x^2+y^2=4相交于A,B两点,求当三角形ABO面积取最大值时,直线L的方程.

黄元南回答:
  设A(x1,y1),B(x2,y2)   联立L与圆的方程   y=k(x+2√2)   x²+y²=4   消去y:   (1+k²)x²+4√2k²x+8k²-4=0   Δ=(4√2k²)²-4(8k²-4)(1+k²)   =16-16k²≥0   故-1≤k≤1   由韦达定理:   x1+x2=-4√2k²/(1+k²)   x1x2=(8k²-4)/(1+k²)   |AB|²=(x1-x2)²+(y1-y2)²   =(1+k²)(x1-x2)²   =(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]   =(1+k²)[32k^4/(1+k²)²-4(8k²-4)/(1+k²)]   =16(1-k²)/(1+k²)   O到L的距离d=|2√2k|/√(1+k²)   故三角形ABO面积=d*AB/2   =2|2√2k|√(1-k²)/(1+k²)   =4√2√[(1-k²)k²/(1+k²)²]   令y=[(1-k²)k²/(1+k²)²]   令k²=t   故y=[(1-t)t/(1+t)²]   =(-t²+t)/(t²+2t+1)   =-1+(3t+1)/(t²+2t+1)   =-1+3(t+1/3)/(t²+2t+1)   再利用这种方法,知道   t=1/3时,y有最大值   此时即k²=1/3   故k=±√3/3   故L:y=k(x+2√2)
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