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数学里什么是余数
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更新时间:2024-03-29 04:20:08
问题描述:

数学里什么是余数

李庆回答:
  在整数运算中除数不能整除被除数时会有余数,在整数的除法中,只有能整除与不能整除两种情况.当不能整除时,就产生余数,所以余数问题在小学数学中非常重要.   取余数运算:   amodb=c表示整数a除以整数b所得余数为c   如7mod3=1.   余数有如下一些重要性质(a,b,c均为自然数):   (1)余数小于除数.   (2)被除数=除数×商+余数;   除数=(被除数-余数)÷商;   商=(被除数-余数)÷除数.   (3)如果a,b除以c的余数相同,那么a与b的差能被c整除.例如,17与11除以3的余数都是2,所以17-11能被3整除.   (4)a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和(或这个和除以c的余数).例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23+16)除以5的余数等于3+1=4.注意:当余数之和大于除数时,所求余数等于余数之和再除以c的余数.例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23+19)除以5的余数等于(3+4)除以5的余数.   (5)a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之积(或这个积除以c的余数).例如,23,16除以5的余数分别是3和1,所以(23×16)除以5的余数等于3×1=3.注意:当余数之积大于除数时,所求余数等于余数之积再除以c的余数.例如,23,19除以5的余数分别是3和4,所以(23×19)除以5的余数等于(3×4)除以5的余数.   性质(4)(5)都可以推广到多个自然数的情形.   例15122除以一个两位数得到的余数是66,求这个两位数.   由性质(2)知,除数×商=被除数-余数.   5122-66=5056,   5056应是除数的整数倍.将5056分解质因数,得到   5056=26×79.   由性质(1)知,除数应大于66,再由除数是两位数,得到除数在67~99之间,符合题意的5056的约数只有79,所以这个两位数是79.   例2被除数、除数、商与余数之和是2143,已知商是33,余数是52,求被除数和除数.   因为被除数=除数×商+余数   =除数×33+52,   被除数=2143-除数-商-余数   =2143-除数-33-52   =2058-除数,   所以除数×33+52=2058-除数,   所以除数=(2058-52)÷34=59,   被除数=2058-59=1999.   答:被除数是1999,除数是59.   例3甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数.   因为甲=乙×11+32,   所以甲+乙=乙×11+32+乙=乙×12+32=1088,   所以乙=(1088-32)÷12=88,   甲=1088-乙=1000.   答:甲数是1000,乙数是88.   例4有一个整数,用它去除70,110,160得到的三个余数之和是50.求这个数.   先由题目条件,求出这个数的大致范围.因为50÷3=16……2,所以三个余数中至少有一个大于16,推知除数大于16.由三个余数之和是50知,除数不应大于70,所以除数在17~70之间.   由题意知(7+110+160)-50=290应能被这个数整除.将290分解质因数,得到290=2×5×29,290在17~70之间的约数有29和58.   因为110÷58=1……52>50,所以58不合题意.所求整数是29.   例5求478×296×351除以17的余数.   先求出乘积再求余数,计算量较大.根据性质(5),可先分别计算出各因数除以17的余数,再求余数之积除以17的余数.   478,296,351除以17的余数分别为2,7和11,(2×7×11)÷17=9……1.   所求余数是1.   例6甲、乙两个代表团乘车去参观,每辆车可乘36人.两代表团坐满若干辆车后,甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车.参观完,甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念.如果每个胶卷可拍36张照片,那么拍完最后一张照片后,相机里的胶卷还可拍几张照片?   甲代表团坐满若干辆车后余11人,说明甲代表团的人数(简称甲数)除以36余11;两代表团余下的人正好坐满一辆车,说明乙代表团余36-11=25(人),即乙代表团的人数(简称乙数)除以36余25;甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片,共要拍“甲数×乙数”张照片,因为每个胶卷拍36张,所以最后一个胶卷拍的张数,等于“甲数×乙数”除以36的余数.   因为甲数除以36余11,乙数除以36余25,所以“甲数×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数.   (11×25)÷36=7……23,   即最后一个胶卷拍了23张,还可拍36-23=13(张).   由例6看出,将实际问题转化为我们熟悉的数学问题,有助于我们思考解题.
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