【分析】(1)利用已知配凑出4an+1+1、4an+1即bn+1、bn的形式，然后根据等差数列的定义求解； 　　(2)构造数列cn=，在(1)的基础上，求出cn表达式，利用cn的单调性求出cn的最大值，从而转化为不等式求解问题，进而完成对a的探索． 　　(3)构造函数，利用函数的单调性分n≤2和n≥3两种情况探索． 　　(1)由已知得， 　　所以bn+12=bn2+2bn+1=， 　　即bn+1=bn+1， 　　又b1=1，所以数列{bn}为等差数列， 　　通项公式为bn=n(n∈N*)． 　　(2)令cn=， 　　由， 　　得 　　= 　　所以，数列{cn}为单调递减数列， 　　所以数列{cn}的最大项为， 　　若不等式对一切n∈N*都成立， 　　只需， 　　解得， 　　又a>0，a≠1， 　　所以a的取值范围为． 　　(3)问题可转化为比较nn+1与(n+1)n的大小． 　　设函数，所以． 　　当0<x<e时，f'(x)>0； 　　当x>e时，f'(x)<0． 　　所以f(x)在(0，e)上为增函数；在(e，+∞)上为减函数． 　　当n=1，2时，显然有nn+1<(n+1)n， 　　当n≥3时，f(n)>f(n+1)，即， 　　所以(n+1)lnn>nln(n+1)，即lnnn+1>ln(n+1)n， 　　所以nn+1>(n+1)n． 　　综上：当n=1，2时，nn+1<(n+1)n，即； 　　当n≥3时，nn+1>(n+1)n即． 　　【点评】本题主要考查数列、函数、导数、不等式等基础知识，分类讨论、化归思想等数学思想方法，以及推理、分析与解决问题的能力．