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【在平面直角坐标系中,定点F(1,0),P是定直线l:x=-1上一动点,过点P作l的垂线与线段PF的垂直平分线相交于点Q,记Q点的轨迹为曲线T,过点E(2,0)作斜率分别为k1,k2的两条直线AB,CD交】
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问题描述:

在平面直角坐标系中,定点F(1,0),P是定直线l:x=-1上一动点,过点P作l的垂线与线段PF的垂直平分线相交于点Q,记Q点的轨迹为曲线T,过点E(2,0)作斜率分别为k1,k2的两条直线AB,CD交曲线T于点A,B,C,D,且M,N分别是AB,CD的中点.

(1)求曲线T的方程;

(2)若k1+k2=1,求证:直线MN过定点.

申元霞回答:
  (1)过点P作l的垂线与线段PF的垂直平分线相交于点Q,∴|QP|=|QF|,即点Q到点F(1,0)的距离等于点Q到直线l1:x=-1的距离,   由抛物线的定义可得点Q的轨迹是以F为焦点,以直线l1:x=-1为准线的抛物线,   方程为y2=4x.   (2)证明:设AB的方程为y=k1(x-2),联立抛物线方程得k1y2-4y-8k1=0,y1+y2=4k
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