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三角函数、数列综合,有一定难度已知α为锐角且tanα=√2-1,函数f(x)=x^2·tan2α+xsin(2α+π/4)数列{an}的首项a1=1/2,a(n+1)=f(an).1.求函数f(x)的解析式2.求证:a(n+1)>an3.求证:1<1/(1+a1)+1/(1+a2)+.+1/(1+an)
1人问答
问题描述:

三角函数、数列综合,有一定难度

已知α为锐角且tanα=√2-1,函数f(x)=x^2·tan2α+xsin(2α+π/4)

数列{an}的首项a1=1/2,a(n+1)=f(an).

1.求函数f(x)的解析式

2.求证:a(n+1)>an

3.求证:1

田启家回答:
  tanα=√2-1   tan(2a)=2tana/1-(tana)^2=2√2-2/(1-(3-2√2)=1   所以2a=π/4,2α+π/4=π/2   f(x)=x^2+x   a(n+1)=an^2+an   即a(n+1)-an=an^2>0   a(n+1)>an   1/(1+a1)=2/3   1/(1+a2)=4/7   前两项之和已经大于1了所以总和必大于1
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