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设a>0,b>0,c>0,a≠b,b≠c,c≠a,且a,b,c满足a+b>c,求证:a^3+b^3+c^3+3abc>2(a+b)c^2
1人问答
问题描述:

设a>0,b>0,c>0,a≠b,b≠c,c≠a,且a,b,c满足a+b>c,求证:a^3+b^3+c^3+3abc>2(a+b)c^2

董雨果回答:
  a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)>c(a^2-ab+b^2),   所以a^3+b^3+c^3+3abc>c(a^2-ab+b^2)+c^3+3abc=a^2c+b^2c+c^3+2abc   因为a^2c+b^2c+c^3+2abc-2(a+b)c^2   =c[a^2+b^2+2ab+c^2-2(a+b)c]   =c[(a+b)^2+c^2-2(a+b)c]   =c(a+b-c)^2>0   所以a^2c+b^2c+c^3+2abc>2(a+b)c^2   所以a^3+b^3+c^3+3abc>2(a+b)c^2
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