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在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AA1=根号7,点D是BC的中点,点E在AC上,且DE⊥A1E(1)证明平面A1DE⊥平面ACC1A1(2)求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值
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问题描述:

在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AA1=根号7,点D是BC的中点,点E在AC上,且DE⊥A1E

(1)证明平面A1DE⊥平面ACC1A1

(2)求直线AD和平面A1DE所成角的正弦值

惠春回答:
  1)   DE⊥A1E,DE⊥AA1   所以,DE⊥面ACC1A1   而DE⊂面A1DE   所以平面A1DE⊥平面ACC1A1   2)   DE⊥面ACC1A1,因此,DE⊥AC   所以,CE=DC/2=AB/4=1   AE=AC-CE=4-1=3   A1E=√(AE^2+AA1^2)=√(9+7)=4   AD=AB*√3/2=2√3   作AF⊥A1E于F   因为DE⊥面ACC1A1,所以,DE⊥AF   所以,AF⊥面啊A1DE   所以,AF⊥A1E   所以,AF=AE*AA1/A1E=3√7/4   ∠ADF是直线AD和平面A1DE所成角   sin∠ADF=AF/AD=(3√7/4)/(2√3)=√21/8
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