设∠ACE=α,∠BCF=β,则α+β=45,α+β+45=90,2(α+β)=90 　　⊿ACE中用正弦定理有AE/sinα=CE/sin45 　　所以CE=AEsin45/sinα 　　⊿CEF中用正弦定理有：EF/sin45=CE/sin(45+β)=CE/cosα 　　所以EF=sin45*AEsin45/sinαcosα=AE/sin2α 　　所以AE=EF*sin2α 　　同理BF=EF*sin2β 　　所以AE²+BF²=EF²（sin²2α+sin²2β）=EF²得证

　　能不能整点我能看懂的，用初三数学回答。OK？

　　作CD=CE，且角BDC=角ACE，连BD,DF，如图所示。因为AC=AB,CE=CD所以三角形AEC全等于三角形BDC所以AE=BD角BCD=角ACE角CAB=角CBD因为角CAB+角CBA=90度所以角CBD+角CBA=90度所以BD垂直于BF因为角BCF+角ACE=45度且角ACE=角BCD所以角BCD+角BCF=45度所以角DCF=角ECF=45度又CE=CDCF=CF所以三角形CEF全等于三角形CDF所以EF=DF在直角三角形BDF中因为BD平方+BF平方=DF平方又BD=AE,EF=DF所以AE平方+BF平方=EF平方