证明： 　　因为 　　m³-n³=(m-n)(m²+mn+n²) 　　m²-n²=(m-n)(m+n) 　　所以有 　　(m-n)(m²+mn+n²)=(m-n)(m+n) 　　因为m≠n 　　所以有 　　m²+mn+n²=m+n 　　即m²+2mn+n²=m+n+mn 　　即（m+n)²=m+n+mn 　　即（m+n)(m+n-1)=mn① 　　即m+n-1=mn/(m+n) 　　因为上式右端大于零,所以左端也大于零, 　　从面必有1＜m+n 　　易知(m+n)/2＞√(mn) 　　即(m+n)²/4＞mn 　　把它代入①式,得 　　（m+n)(m+n-1)＜(m+n)²/4 　　令x=m+n,则上式相当于 　　x(x-1)＜x²/4 　　化简后,得 　　3x²＜4x 　　易知x≠0,从而可由上式得 　　3x＜4 　　即x＜4/3 　　即m+n＜4/3 　　综合起来,便有 　　1＜m+n＜4/3 　　完.